【思索】数学是什么？

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来源：网络

我是数学科班出生，本科就读于“南京某个大学”数学系。只可惜学艺不精，也只是混到毕业，按我们一个老师的说法：“出去也只能拿一些名词唬唬人”，其实我连那些名词都不记得了。当初报数学系是以为其他系不学数学，而且认为自己数学很好，来了之后才发现实在是资质平平，而且学数学也没有那种荣耀感了。临近毕业时，决定随大流投身到高尖产业--计算机行列，那年复试以离散满分、操作系统零分的成绩进入了计算机系。生性懒惰，行动力差决定了我到哪都是庸碌的，研究生毕业除了用数学公式发了一篇《软件学报》外一无所获，导师在散伙饭上也对我下了定义：“缺少冲劲”。接下来，你们都猜到了，我成为了千万码农的一份子，为这个世界的垃圾代码继续添砖加瓦，直至这个世界不再需要代码……

　　我以为就此与数学决别了，学学协议，解解bug，貌似智商是够用的。但工作中总会有些数学的东西时不时来撩动我的心：密码学、图论、几何、DSP、抽象代数、信息学、概率论、算法……虽然很多只是擦肩而过，每次我都会驻足许久，有时甚至觉得恍惚：数学貌似一直都在那里，从未离去，又或是我每次都无意地在接近她。我想大部分程序员对自己都会有相似的职业规划：码农、高级工程师、资深工程师、项目经理（或架构师）。熬吧，总有一天你不再需要写代码，总有一天你会对菜鸟的代码嗤之以鼻，熬吧！但大家心里都明白，计算机行业是最不排资论辈的，一代又一代的IT男，一个比一个干劲足，也许还没到资深你就已经体力不支了。我相信大家都在为这个危机做着准备：学习新的知识、积累项目经验、又或是在某个领域做成专家、又或是去卖水果卖烧饼。所以我给了自己一个接近数学的理由：让数学作为职场中的一个筹码吧。

　　在生活中，当有人在算一斤半鸡蛋多少钱卡档时，会自嘲道：“我数学不好”，可见数学在大部分人心里还停留在对算术的认识。程序员多少是学过点大学数学的，当谈及数学时会说：“我看到那些公式就晕”，这就上升到代数的层次了。那数学究竟是什么？它当然不是算术，那是2000年前原始人眼里的数学。它也不是公式，那是欧拉时代人们对数学的含糊认识。到了现代有一个提法，认为数学是一门研究“模式”的科学。这种说法虽然还是很模糊，但的确已经是最接近本质的描述了。从“模式”这个词可知，数学研究的范围是非常宽泛的。只要是可以提取出一定模式的地方，都可以有这门科学的身影。数学和其它科学最大的不同在于它的研究对象和方法，它的研究对象是“数量”和“关系”。所以“数学”这个名称本身就是有误导性的，近现代数学更多的是研究“关系”。

　　数学的研究方法具有“抽象、确定和应用”的特点。数学的抽象性是大家从小就直视的，当说起数字5时，我们不再认为它等同于一只手（别笑，以前的人就是这么认为的），数学的抽象中剔除了数量和关系之外的其它属性。数学的明确性是指其逻辑的严密性和结论的确定性，这其实是很多人忽视的，可以说数学的表面是数，而本质却是逻辑。抽象的概念只是素材，而逻辑的推理则是剩下的全部。现在的大学教学往往只是对定义和定理的记忆，对这门科学最有价值的方法论丢在一边，也就造成了考完试全忘光和数学就是公式的认识。最后，数学来源于实际应用，然后还会回到实际。这一点并不是所有人都赞同，造成这样的认识的主要原因是我们对每个课程的来源不了解。纵观数学发展的每个阶段，每次数学的进步都是现实的要求，古希腊时期几何学的辉煌来自于丈量的需求，近代分析学的爆发是物理天文的需求，现代数学也是来源于更广阔更复杂的需求。数学来源于现实，但却是高于现实的，它的概念高度抽象，它的结论也是广泛适用的，但这也造成了数学表面上脱离现实的假象。数学的抽象在各个时期又是有他的局限的，这也导致了其应用的受限，所以历代数学家所做的往往都是对现有局限的抽象做扩充和增强，这也是人类认知的基本规律。

　　总之，数学是值得我们学习的，不管是它的结论还是抽象推理的方法论，都是人类千百年智慧的结晶。但数学研究是浩瀚无边的，作为一个小小程序员，我不打算吃遍所有学科以及学科的所有内容，而只会挑选和计算机有关联的学科以及学科最基础的内容。但在这之前，我想把它们的前序学科也扫个遍，因为那些才是纯粹的数学。那从哪里开始呢？数学可以粗略分为三大分支：分析，代数，几何，我把它们对应到计算机的信号、编码、图形，差不多也就是按这个顺序进行了。但在这所有的之前，我想先从数学的基石--集合论开始说起，它虽然是最基础的概念，但直到上个世纪才被发展起来，这里我们将看到不一样的集合论。当然还有一个更基石的学科--数理逻辑，它是逻辑推理的形式化理论，用形式化论证数学推理的严密性，但这里就作不介绍了，默认我们的逻辑是“符合逻辑”的。

　　这里仅仅是个人的学习笔记，并不是权威论著，对每个学科的论述都是浅显的，欢迎大家一起来探讨学习。数学学习的过程是漫长的，好奇心可能会支撑你看个一两章，但越往后越会失去耐心和方向感。我建议大家看任何一本书时，先草草翻一遍，知道有哪些基本概念和重要结论，先对研究目的和方法有个全局观。想到有个同事小胖（俗话说，每个Team都会有个小胖）的口头禅：“不要在意哪些细节”，细节会让你迷失。了解了大概之后再进行细节的学习，但这其中要带着思考进行，不能让书本牵住你的鼻子走，而是应该和它进行有效地探讨。最后再把整本书快速翻一遍，对细节的理解加上开始模糊的全局观，你对这门课的本质会有进一步的认识，这其实也就是所谓的“先薄后厚再薄”的读书方法。当然好书是常读常新的，挑一些大师的经典书籍，时不时翻翻都会有新的感悟。数学书籍不在乎新旧，很多传世著作都是几百甚至几千年前（《几何原本》）的，好的教材也当数上个世纪最多了。去找找那些国内七八十年代的的小“黄”书吧，感受一下那个时代人的治学精神，标价只有几毛钱的书，分量可比如今动则上百的IT书籍高多了。

　　那我们从哪里开始呢？在正式进入学习之前，读一些概论性的书和历史故事也许可以提高整体认识和学习兴趣。附录里大部分书都是这方面比较经典或优秀的书，不一定全看，但翻翻也是好的。还有一部分书，和数学相关但不是专业知识，叫“游戏数学”，也就是各种“益智趣题”。这种题目的确可以锻炼思维和防止老年痴呆，但数量巨大且质量良莠不齐，研究的时候需要有识别能力，不要把太多时间花费在无意义的问题上。

【数学史和概论】

[1] 《古今数学思想》（Mathematical Thought from Ancient to Modern Times），Morris Kline，1990

　　数学史大师的经典巨著，公认的至今最好的数学史，没有之一。 既是数学编年史，也是极全面的数学概论，全面介绍了20世纪前的主要数学思想。

[2] 《数学：它的内容、方法和意义》（Mathematics：Its Content Methods and Meaning），A.D. Aleksandrov，1956

　　对数学各主要分支作了较详尽的介绍，基本是纯数学，不包含20世纪后的数学。由很多前苏联数学家共同写就，是数学概论的经典之作。原本是写给苏联高中生看的科普书，但对我国大部分本科生都显得有点难。

[3] 《什么是数学：对思想和方法的基本研究》（What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods，2th），Richard Courant，1996

　　数学家写就的不朽名著，可以给各色人看。挑选了比较基础的数学分支展开讲述，集科普和专业于一身。程序员想要提高数学修养必看的一本书，你会珍爱地随身携带它的。

[4] 《高观点下的初等数学》（Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint），Felix Klein，1924

　　大师的呕心力作，将数学各分支有机串连。着手点低，但瞬间拉到很高的视角，需较高功底才能慢慢消化。作为哥廷根学派的创始人，对数学教育的情怀和激情皆在其中。

[5] 《普林斯顿数学指南》（The Princeton Companion to Mathematics），Timothy Gowers，2008

　　这本大部头的百科全书，有菲尔兹奖获得者编辑。包含了几乎所有数学分支的概论和应用，而且还包括最近的研究方向。

[6] 《20世纪数学思想》，胡作玄，1999

　　国内著名数学史学家仿《古今数学思想》的作品，介绍了20世纪重要的思想。20世纪的数学急剧发展，无法作较清晰梳理。本书作了努力的尝试，是比较稀缺的资料。

[7] 《数学史》（A History of Mathematics，3th），Carl B. Boyer，2011

　　至今最好的两本数学史之一，从古代介绍到20世纪早期。内容翔实，包容万象，更偏历史和故事，人人可读。中文版分上下册，包装精美，可摆在书架上装逼。

[8] 《数学史简介》（The History of Mathematics：An Introduction，7th），David Burton，2010

　　一本经典的数学史，有自己的特点。

[9] 《数学及其历史》（Mathematics and Its History，3th），John Stillwell，2010

　　又一本数学概论，其中穿插了故事和历史。现在能写数学概论的人已经不多了，作者是其中之一。

[10] 《数学史教程》，李文林，2000

　　国内著名数学史学家的作品，信息量挺大，参考了不少同类书籍。

[11] 《分析数学史》（Analysis By Its History），Ernst Hairer，1996

　　分析数学的概论和历史，对分析学的主要思想作了全面的介绍。

[12] 《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》（The Calculus Gallery：Masterpieces from Newton to Lebesgue），William Dunham，2008

　　介绍了微积分的发展史，以及主要贡献者的故事和思想。著名科普作家的又一本力作，读来回味无穷。

[13] 《代数的历史：人类对未知量的不舍追踪》（Unknown Quantity：A Real and Imaginary History of Algebra），John Derbyshire，2008

　　一本代数史的科普书，了解代数的各个发展阶段。

[14] 《几何学史》（Geometry by Its History）， Alexander Ostermann，2012

　　几何学的编年史，包含各种漂亮的几何定理和思想。几何是思维锻炼的最好素材，永不过时。历史上几何的一次次华丽转身，绝对让你惊讶思维的神奇。

[15] 《几何的四大支柱》（The Four Pillars Of Geometry），John Stillwell，2005

　　从4个不同视角了解几何，让你更全面更科学的学习几何。

[16] 《数学天书中的证明》（Proofs from THE BOOK，4th），Martin Aigner，2010

　　介绍了40个经典问题的精妙证明，一部思维艺术的展览。20世纪的传奇数学大师爱多士认为，上帝有本数学天书，只有最精妙的证明才符合天书的本意。

[17] 《给文科生的数学》（Mathematics for The Non-Mathematician），Morris Kline，1967

　　大师的科普情怀之作，内容较浅显。这本书更偏重介绍数学对艺术、经济的影响和作用，亦是一本较全面的数学史。

[18] 《天才引导的历程》（Journey Through Genius），William Dunham，1991

　　以经典的定理为切入点，讲述数学家和数学史。广受好评的科普名著，读起来轻松且极具启发性。

[19] 《100个著名初等数学问题》（100 Great Problems of Elementary Mathematics），Heinrich Dorrie，1965

　　挑选了历史上有重大意义的初等问题，介绍了其初等解法和历史。不仅可以欣赏那些精妙的解法，亦可以了解到一些数学分支是如何产生的。数学问题无穷无尽，要有眼光做“好”的数学。

[20] 《世界数学名题选讲》，左宗明，1989

　　介绍了一些初等数学名题，难度不大，但趣味性强。

[21] 《数学珍宝》，李文林，2003

　　数学史上著名文献的摘要和翻译，难得齐全的参考资料，书如其名。

【数学科普和故事】

[1] 《数学大师：从芝诺到庞加莱》（Men of Mathematics），Eric T. Bell，1986

　　一部数学家故事的经典著作，大量的一手资料和作者的深刻见解。基本以编年史形式介绍了古今数学大家的故事和对数学的影响。

[2] 《数学恩仇录：数学家的十大论战》（Great Feuds in Medicine: Ten of the Liveliest Disputes Ever），Hal Hellman，2003

　　历史上的数学家可不是现在这般有合作和分享精神，数学是作为最高荣耀而存在的。这本书搜集了数学史上的种种争端，新颖的视角颇具可读性。

[3] 《数学圈》（In Mathematical Circles），Howard Whitley Eves，1969

　　琐碎的数学故事集，但却正好符合现代人的碎片式阅读。一共三本，内容覆盖面很广，科普消遣的好读物。

[4] 《数学那些事儿：思想、发现、人物和历史》（The Mathematical Universe：An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems, and Personalities），William Dunham，1997

　　这本书以26个字母为开头的单词展开，讲述了一部生动的数学史。数学史也是可以不按照年代讲解的，它可以从任何地方侃起。

[5] 《20世纪数学经纬》，张奠宙，2002

　　一步20世纪数学史，以故事为主，可读性较强。20世纪数学史的书比较少，该书可作敲门砖。

[6] 《布尔巴基学派的兴衰》，胡作玄，1984

　　法国在19世纪失去它的数学中心地位之后，一帮年轻人在20世纪努力重现他们的辉煌。虽然并未重新振兴法国数学，但他们却记录了一个时代。

[7] 《数学：确定性的丧失》（Mathematics: the Loss of Certainty），Morris Kline，1980

[8] 《数学与知识的探求》（Mathematics and the Search for Knowledge），Morris Kline，1985

[9] 《西方文化中的数学》（Mathematics in Western Culture），Morris Kline，1964

　　大师克莱因洋洋洒洒写了很多讨论数学的书，取材丰富，洞悉深入，却又生动易懂。在学习数学的各阶段，大师的思想都是你前进的明灯。

[10] 《千年难题：七个悬赏一百万美元的数学问题》（The Millennium Problems: The Seven Greatest Unsolved Mathe），Keith J. Devlin，2003

　　现在的数学家都在忙什么？和几千年前一样，他们需要解决一些数学问题。而每一个问题都会对整个科学和社会造成影响。本书简单介绍了千禧年七大难题的来源和内容，你所知道的将是：我已经什么都不懂了。

[11] 《素数的音乐：为什么黎曼假设那么重要》（The Music of the Primes：Why an Unsolved Problem in Mathematics Matters），Marcus Sautoy，2012

　　像黎曼假设这样现代的课题也只有数学家能讲好了，这本书是其中最好的一本。流畅的行文，跌宕的故事，适合一口气看完。

[12] 《费马大定理：一个困惑了世间智者358年的谜》（Fermat's Enigma: The Epic Quest to Solve the World's Greatest Mathematical Problem），Simon Singh，1998

　　这是一个跨度如此之大的问题，它几乎囊括了从古典数学到现代数学的所有内容。费马大定理是只会生金蛋的鹅，它的故事也注定是史诗级的。

[13] 《密码故事：人类智力的另类较量》（The Code Book: How to Make It, Break It, Hack It, Crack It），Simon Singh，2003

　　Singh的又一部神作，它总能把故事讲得那样生动，即使你不太懂数学。密码从诞生那天起就在不断地破解和升级，不安全是密码永恒的属性。

[14] 《从一到无穷大：科学中的事实和臆测》（One Two Three...Infinity: Facts and Speculations of Science），George Gamow，1988

　　当今最有影响的科普名著之一，包括数学、宏观和微观世界。

[15] 《数的故事：从计数到加密》（Number Story: From Counting to Cryptography），Peter M. Higgins，2008

　　数的历史比人类还悠久，并且一直延伸到近代数学的范畴。人们对数的认识越深入，却发现我们知道越少。从书名就知道，这必定是一本内容丰富的书。

[16] 《ππ的历史》（A History of ππ），Petr Beckmann，1976

　　介绍ππ的经典科普著作，内容全面而有趣。另外还穿插了数学史的其它内容，使得内容更立体。

[17] 《ππ：世界最神秘的数字》（ππ：A Biography of the World's Most Mysterious Number），Alfred S. Posamentier，2004

　　一本介绍ππ趣味性为主的娱乐读物，信息量还算大，浏览即可。

[18] 《φφ的故事：解读黄金比例》（The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number），Mario Livio，2003

　　黄金比例的数学原理不复杂，但它却在生活、自然中大量出现。又一本常数的故事，且有相当丰富的实例。

[19] 《ee的故事：一个常数的传奇》（ee：The Story of a Number），Eli Maor，2009

　　常数ee从出生起，集理论数学和应用数学于一体，是所有人都该了解并要进一步了解的知识。有趣的是，ee的产生与我们第一次接触它的场景是完全不同的。要掌握好它，就必须知道它的来龙去脉，请打开这本书吧。

[20] 《虚数的故事》（An Imaginary Tale：The Story of ii），Paul J. Nahin，1998

　　虚数是衔接传统数学和近代数学最好的素材，这本书从内容上自然是十分丰富的。因为涉及近代数学思想，你要做好挑战的准备。

[21] 《数字之书》（The Book of Numbers），John H. Conway，1995

　　一些数字注定要有它特殊的地位，作者在这方面做了最大的努力。题材和视角比较新颖，但不必太认真。

[22] 《对称》（Symmetry），Hermann Weyl，1983

　　数学家写的一本科普小册子。描述对称的最好模型居然与解五次方程有关，它就是如今无所不在的群论。

[23] 《无法解出的方程：天才与对称》（The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry），Mario Livio，2006

　　虽然落脚点在群论，但它更是一本方程的历史书。一般的抽象代数课本上是不会告诉你群论是从哪来的，也就没有了对群论意义的深刻认识。

[24] 《勾股定理：悠悠4000年的故事》（ The Pythagorean Theorem: A 4000 Year History），Eli Maor，2010

　　勾股定理被誉为最简单但最伟大的定理，你总可以从中发现新的东西。这本书并没有简单搜集罗列勾股定理的种种资料，它其实更是一本数学史。

[25] 《勾股定理：数学王冠》（The Pythagorean Theorem：Crown Jewel of Mathematics），John C. Sparks，2013

　　勾股定理各种证明和相关题材的小册子，看着玩玩吧。

[26] 《三角之美：边边角角的趣事》（Trigonometric Delights），Eli Maor，1998

　　三角函数一直是让中学生头疼的东西，而它在近代数学里却又是那么重要。了解一下它的历史吧，虽然它还是那样让你头疼。

[27] 《美丽的几何》（Beautiful Geometry），Eli Maor，2014

　　搜集了一些直观的数学结论，内容不仅限于几何。作为一本娱乐且不失专业性的科普读物，可读性还是比较强的。

[28] 《神圣几何》（Sacred Geometry），Robert Lawlor，1982

　　自然与宇宙的美都是以几何形式展现的，几何的美也许是上帝的旨意。你可以把它当做作图几何看，也可以当做美学书看。但其实“神圣几何”不是一门数学课，而是宗教课程。